Otázka, kolikrát je možné přeložit papír na polovinu, je jedním z nejznámějších a nejvíce matoucích rébusů v populární vědě a matematice. Běžně se uvádí, že papír nelze přeložit více než sedmkrát, bez ohledu na jeho velikost. Je toto pravidlo skutečným fyzikálním limitem, nebo jen populárním mýtem? Odpověď leží na pomezí exponenciální matematiky, síly materiálu a geniálního přístupu středoškolské studentky.
Proč je limit 7 tak populární? Síla exponenciálního růstu
Pravidlo sedmi přeložení platí pro standardní list papíru (např. formátu A4 či Letter) a pro ohýbání, při němž se papír vždy přeloží napůl ve střídavých směrech. Důvod, proč se dostáváme tak rychle na limit, je čistá matematika:
- Exponenciální nárůst tloušťky: S každým přeložením se tloušťka složeného papíru zdvojnásobí.
| Počet přeložení | Počet vrstev | Tloušťka (při tloušťce papíru 0,1 mm) |
| 1 | 2 | 0,2 mm |
| 2 | 4 | 0,4 mm |
| 3 | 8 | 0,8 mm |
| 4 | 16 | 1,6 mm |
| 5 | 32 | 3,2 mm |
| 6 | 64 | 6,4 mm |
| 7 | 128 | 12,8 mm |
| 8 | 256 | 25,6 mm |
- Geometrická omezení a páka: Jak tloušťka exponenciálně roste, délka papíru se zároveň exponenciálně zkracuje. Pro provedení ohybu je nutné překonat sílu, která drží obrovské množství vrstev.
- Při 7. přeložení: Se snažíte ohnout 128 vrstev papíru. Papír je již tak tlustý a malý, že nemáte dostatečnou délku plochy, abyste vyvinuli potřebnou páku k provedení dalšího čistého ohybu, aniž by se papír roztrhl.
- Při 8. přeložení: Již skládáte přes 250 vrstev, což je tloušťka odpovídající malé knize, která je však velmi krátká a tuhá.
Vyvrácení mýtu: Rekordy a matematický průlom
Pravidlo sedmi bylo po dlouhou dobu bráno jako univerzální fyzikální zákon. V roce 2002 jej však vyvrátila americká středoškolská studentka Britney Gallivan, která se problému věnovala v rámci školního projektu.
Britney si uvědomila, že problémem není ani tak síla, jako geometrie: při střídavém ohýbání (napůl v jednom směru, napůl v druhém) vzniká v místě ohybu tloušťka, která znemožňuje přesné přehnutí.
Její průlom spočíval ve dvou věcech:
- Matematický model: Odvodila vzorec, který přesně určuje potřebnou délku papíru (L) pro daný počet přeložení (n) a tloušťku papíru (T). Vzorec pro ohýbání v jednom směru (místo střídavého):L=6πt(2n+4)(2n−1)
- Praktický rekord (2002): Pomocí role toaletního papíru o délce 4 000 stop (asi 1 200 metrů), kterou rozvinula ve velkém nákupním centru, se jí podařilo papír přeložit 12krát – a to vše s použitím pomůcek jako váleček a ruce.
Guinnessův rekord
Oficiální rekord v přeložení papíru se neustále posouvá a je držen týmy, které používají obrovské role a těžkou techniku.
- 13krát: Tento rekord stanovil tým z populárního pořadu MythBusters (Bořiči mýtů) v roce 2007. Použili papír velikosti hokejového hřiště, který ohýbali pomocí vysokozdvižného vozíku.
Papír na Měsíc: Síla exponenciály v praxi
I když se nám zdá, že je nemožné papír ohnout více než 13krát, exponenciální růst tloušťky vede k fascinujícím teoretickým důsledkům:
Pokud by bylo možné (čistě hypoteticky) vzít standardní papír o tloušťce T=0,1 mm a donekonečna jej ohýbat, tloušťka by rychle dosáhla astronomických rozměrů:
| Počet přeložení (n) | Počet vrstev (2n) | Kumulativní tloušťka (T⋅2n) |
| 10 | 1 024 | 10,24 cm |
| 20 | 1 048 576 | 104,8 m |
| 30 | 1 miliarda | 107,3 km |
| 42 | 4,4 bilionu | 440 000 km |
| 51 | 2,25 kvadrilionu | 225 milionů km |
Zajímavosti:
- Při 42. přeložení: Tloušťka by dosáhla přibližně 440 000 km, což je více než průměrná vzdálenost Země od Měsíce (≈384400 km).
- Při 51. přeložení: Papír by teoreticky dosáhl tloušťky přes 225 milionů km, což je zhruba vzdálenost Země od Marsu.
Omezení je geometrické, nikoli magické
Mýtus o sedmi přeloženích tedy není přesný. Papír lze ohnout více než sedmkrát, pokud se použije dostatečně velký a tenký materiál a ohýbání probíhá v jednom směru (jako rolování). Přesnější tvrzení je, že limit je dán geometrickým vztahem mezi tloušťkou papíru a jeho dostupnou délkou pro vytvoření ohybu. Díky geniální práci Britney Gallivan a odvážným experimentům se ukázalo, že lidská vynalézavost dokáže prolomit i takto zakořeněné „pravidlo“ a posunout hranici možného.
